Trong nhiều không gian như Rn, hoặc bất kì tập lồi trong Rn, chỉ có một lớp đồng luân của các vòng, vì vậy nhóm cơ bản là tầm thường, nghĩa là ({0},+). Một không gian liên thông đường có nhóm cơ bản tầm thường gọi là không gian đơn liên.

Một vi dụ thú vị là đường tròn. Mỗi lớp đồng luân gồm tất cả những vòng quấn quanh đường tròn một số lần nhất định (có thể dương hoặc âm, phụ thuộc vào hướng) Tích của một vòng quấn quanh m và vòng khác quấn quanh n lần là một vòng quấn quanh m + n lần. Do vậy nhóm cơ bản của vòng tròn đẳng cấu với ( Z , + ) {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)} , nhóm cộng các số nguyên. Từ điều này có thể chứng minh định lý điểm bất động Brouwer và định lý Borsuk–Ulam trong trường hợp chiều 2.

Vì nhóm cơ bản là một bất biến đồng luân nên lý thuyết về winding number cho mặt phẳng phức trừ đi một điểm giống như đối với đường tròn.

Không như các nhóm đồng điều và các nhóm đồng luân cấp cao hơn liên kết với một không gian tô pô, nhóm cơ bản không nhất thiết là Abel. Ví dụ nhóm cơ bản của một đồ thị G là một nhóm tự do. Ở đây hạng của nhóm tự do bằng 1 − χ(G): 1 trừ đi đặc trưng Euler của G. Một ví dụ phức tạp hơn về không gian có nhóm cơ bản không Abel là phần bù của một nút ba lá (tiếng Anh: trefoil knot) trong R3.